Pertemuan 6 · Bab 2 · Statistika 2 Satuan Kredit Semester · Program Studi Diploma Empat Manajemen Proyek Konstruksi

Distribusi Normal dan Skor Baku Z

Pertemuan 5 membahas probabilitas kejadian. Pertemuan 6 melanjutkan dengan variabel acak dan distribusi probabilitas, kemudian berfokus pada distribusi Normal. Mahasiswa belajar membaca posisi sebuah nilai melalui skor baku z atau skor baku z, menghitung peluang sebagai luas di bawah kurva Normal, serta menginterpretasikan hasil dalam konteks Manajemen Proyek Konstruksi.

Variabel Acak Distribusi Probabilitas Distribusi Normal Mean & Simpangan Baku Skor Baku Z Luas di Bawah Kurva Probabilitas IBM SPSS Statistics 340 menit Tugas 5%

Target Rencana Pembelajaran Semester: mahasiswa mampu menggunakan distribusi probabilitas, terutama distribusi Normal, untuk menjelaskan data dan peluang. Indikator keberhasilan: skor baku z dan peluang dihitung benar serta posisi observasi dapat dijelaskan.

Sinkronisasi Rencana Pembelajaran Semester

Kemampuan Akhir yang Direncanakan: Menerapkan distribusi Normal dan skor baku z untuk menganalisis data.
Waktu: TM 100 + PT 120 + BM 120 = 340 menit
Penilaian: Tugas 5%
Referensi RPS: 1,2,4

Tujuan belajar Pertemuan 6

Pertemuan 6 mempunyai 5 tujuan utama. Klik salah satu tujuan untuk langsung menuju materi yang membahasnya.

1
Menjelaskan variabel acak dan distribusi probabilitas. 2
Menjelaskan karakteristik distribusi Normal. 3
Menghitung dan menginterpretasikan skor baku z atau skor baku z. 4
Menghitung peluang sebagai luas di bawah kurva Normal. 5
Menerapkan distribusi Normal pada data proyek konstruksi secara manual dan dengan IBM SPSS Statistics.

Cara belajar: selesaikan Tujuan Pembelajaran 1 sampai Tujuan Pembelajaran 5 secara berurutan. Fokus utama bukan menghafal tabel Normal, tetapi memahami posisi nilai, luas area, dan makna peluang.

Cara belajar Pertemuan 6 agar tetap ringan

Tentukan variabel. Apa besaran acak yang nilainya dapat berubah?

Kenali model. Apakah pendekatan distribusi Normal masuk akal untuk konteks yang diberikan?

Standarkan nilai. Ubah nilai asli menjadi skor baku z agar posisinya dapat dibandingkan.

Tentukan area. Apakah yang dicari peluang di bawah, di atas, atau di antara dua nilai?

Interpretasikan. Kembalikan hasil probabilitas ke satuan dan konteks proyek.

Siklus belajar Pertemuan 6: variabel acak → distribusi → skor baku z → area → probabilitas → interpretasi.

Peta materi Pertemuan 6

Tujuan Pembelajaran 1 · Variabel Acak Tujuan Pembelajaran 2 · Distribusi Normal Tujuan Pembelajaran 3 · Skor Baku Z Tujuan Pembelajaran 4 · Area & Probabilitas Tujuan Pembelajaran 5 · Aplikasi Proyek & IBM SPSS Statistics

Nilai Asli → Distribusi Normal → Skor Baku Z → Luas Area → Probabilitas

Pertemuan 6 membahas model Normal pada data numerik. Teknik sampling dan estimasi parameter akan dilanjutkan pada Pertemuan 7.

TUJUAN PEMBELAJARAN 1

Menjelaskan variabel acak dan distribusi probabilitas

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

Rujukan utama: Montgomery & Runger · Sudjana · Santoso

Variabel acak adalah variabel numerik yang nilainya ditentukan oleh hasil suatu proses yang belum diketahui secara pasti. Dalam proyek konstruksi, contohnya dapat berupa durasi aktivitas, jumlah kejadian keterlambatan, waktu kedatangan material, atau produktivitas harian.

1.1 Variabel acak diskrit

Variabel acak diskrit mengambil nilai yang dapat dihitung satu per satu.

Contoh: jumlah pengiriman yang terlambat dalam satu minggu dapat bernilai 0, 1, 2, 3, dan seterusnya.

1.2 Variabel acak kontinu

Variabel acak kontinu dapat mengambil nilai pada suatu rentang pengukuran.

Contoh: durasi pengecoran dapat bernilai 5,2 jam; 5,25 jam; 5,251 jam; dan seterusnya sesuai ketelitian pengukuran.

1.3 Distribusi probabilitas

Distribusi probabilitas menggambarkan bagaimana peluang tersebar pada kemungkinan nilai variabel acak. Untuk variabel kontinu, peluang berkaitan dengan area pada suatu rentang, bukan pada satu titik tunggal.

Pada variabel kontinu, probabilitas tepat pada satu nilai tertentu secara teoritis adalah nol. Yang bermakna adalah peluang berada pada suatu interval.

1.4 Nilai harapan dan penyebaran

Sebuah distribusi probabilitas biasanya memiliki ukuran pusat dan penyebaran. Pada distribusi Normal, dua parameter utama adalah mean dan simpangan baku.

Komponen	Makna
Mean	menentukan pusat distribusi
Standard deviation	menentukan tingkat penyebaran distribusi

1.5 Dari data ke model

Distribusi probabilitas adalah model. Data nyata tidak harus mengikuti model secara sempurna. Sebelum memakai distribusi Normal, periksa apakah pendekatan tersebut masuk akal berdasarkan konteks dan pola data.

Latihan Tujuan Pembelajaran 1

Klasifikasikan sebagai variabel acak diskrit atau kontinu: (a) jumlah kecelakaan kerja per bulan; (b) durasi pekerjaan fondasi; (c) jumlah alat yang rusak; (d) produktivitas m²/jam.

Jawaban: (a) diskrit; (b) kontinu; (c) diskrit; (d) kontinu.

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

TUJUAN PEMBELAJARAN 2

Menjelaskan karakteristik distribusi Normal

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

Rujukan utama: Montgomery & Runger · Sudjana · Santoso

Distribusi Normal adalah distribusi kontinu berbentuk lonceng dan simetris. Bentuk serta posisinya ditentukan oleh mean dan simpangan baku.

2.1 Ciri utama distribusi Normal

berbentuk lonceng dan simetris terhadap mean;
mean, median, dan modus berada di pusat yang sama pada model Normal ideal;
luas total di bawah kurva = 1 atau 100%;
ekor kurva memanjang ke kiri dan kanan serta mendekati sumbu tanpa memotongnya secara teoritis;
simpangan baku yang lebih besar membuat kurva lebih melebar.

2.2 Peran mean

Mean menggeser posisi pusat distribusi. Jika mean berubah sementara simpangan baku tetap, bentuk kurva sama tetapi pusatnya berpindah.

2.3 Peran simpangan baku

Standard deviation mengatur lebar distribusi. Nilai simpangan baku kecil menghasilkan data yang lebih terkonsentrasi di sekitar mean, sedangkan nilai lebih besar menghasilkan distribusi yang lebih menyebar.

2.4 Aturan empiris 68–95–99,7

Untuk distribusi yang benar-benar Normal, kira-kira:

Rentang	Proporsi kira-kira
mean ± 1 simpangan baku	sekitar 68%
mean ± 2 simpangan baku	sekitar 95%
mean ± 3 simpangan baku	sekitar 99,7%

Aturan 68–95–99,7 adalah pendekatan untuk distribusi Normal. Jangan menerapkannya secara otomatis pada data yang sangat miring, multimodal, atau memiliki pola yang tidak sesuai Normal.

2.5 Distribusi Normal standar

Distribusi Normal standar mempunyai mean 0 dan simpangan baku 1. Nilai dari distribusi Normal lain dapat dipetakan ke distribusi ini melalui skor baku z.

Distribusi Normal standar: mean = 0 dan simpangan baku = 1

Latihan Tujuan Pembelajaran 2

Sebuah variabel dimodelkan Normal dengan mean 50 dan simpangan baku 5. Secara empiris, sekitar berapa persen nilai yang berada antara 45 dan 55?

Jawaban: sekitar 68%, karena 45 dan 55 adalah mean ± 1 simpangan baku.

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

TUJUAN PEMBELAJARAN 3

Menghitung dan menginterpretasikan skor baku z atau skor baku z

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

Rujukan utama: Montgomery & Runger · Sudjana · Santoso

Skor baku z menunjukkan berapa simpangan baku suatu nilai berada dari mean. Standardisasi ini membuat posisi nilai dapat dibandingkan pada skala yang sama.

Untuk model Normal: z = (x − μ) / σ

Dua konteks standardisasi harus dibedakan.

Untuk model Normal dengan parameter populasi, skor baku z ditulis z = (x − μ) / σ. Bentuk inilah yang digunakan untuk menghubungkan nilai asli dengan peluang pada distribusi Normal standar.
Untuk deskripsi data sampel, nilai dapat distandardisasi menggunakan (x − x̄) / s. Nilai ini menjelaskan posisi relatif terhadap mean dan simpangan baku sampel, tetapi tidak otomatis membenarkan perhitungan peluang Normal tanpa asumsi/model yang sesuai.

3.1 Makna tanda skor baku z

Skor baku z	Makna posisi
z = 0	tepat pada mean
z > 0	di atas mean
z < 0	di bawah mean
\|z\| besar	lebih jauh dari mean dalam satuan simpangan baku

3.2 Contoh terarah — durasi aktivitas

Durasi aktivitas dimodelkan Normal dengan mean 20 hari dan simpangan baku 4 hari. Sebuah aktivitas selesai dalam 26 hari.

z = (26 − 20) / 4 = 1,5

Interpretasi: 26 hari berada 1,5 simpangan baku di atas mean. Skor baku z tidak berarti aktivitas tersebut “1,5 kali lebih lama”; ia menyatakan posisi relatif terhadap pusat dan penyebaran.

3.3 Contoh nilai di bawah mean

Jika nilai = 16, mean = 20, dan simpangan baku = 4:

z = (16 − 20) / 4 = −1

Nilai 16 berada satu simpangan baku di bawah mean.

3.4 Membalik skor baku z ke nilai asli

Jika skor baku z diketahui, nilai asli dapat diperoleh kembali:

nilai = mean + z × simpangan baku

Mean = 20 hari, simpangan baku = 4 hari, z = 2.

nilai = 20 + 2 × 4 = 28 hari

3.5 Mengapa skor baku z berguna?

menjelaskan posisi relatif sebuah observasi;
mengubah skala asli menjadi skala standar;
membantu menghitung area/probabilitas pada distribusi Normal;
membantu membandingkan posisi relatif pada dua distribusi yang berbeda, jika perbandingan substantif memang relevan.

3.6 Kalkulator skor baku z

Nilai observasi Mean Standard deviation

Skor baku z hanya bermakna jika simpangan baku lebih besar dari nol. Interpretasi probabilitas dengan tabel Normal juga memerlukan asumsi/model Normal yang sesuai.

Latihan Tujuan Pembelajaran 3

Mean produktivitas = 12 m²/hari, simpangan baku = 2 m²/hari. Tentukan skor baku z untuk produktivitas 15 m²/hari dan interpretasikan.

Jawaban: z = (15 − 12)/2 = 1,5. Nilai 15 m²/hari berada 1,5 simpangan baku di atas mean.

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

TUJUAN PEMBELAJARAN 4

Menghitung peluang sebagai luas di bawah kurva Normal

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

Rujukan utama: Montgomery & Runger · Sudjana · Santoso

Pada distribusi Normal kontinu, probabilitas direpresentasikan sebagai luas di bawah kurva. Luas total seluruh kurva adalah 1 atau 100%.

4.1 Tiga bentuk pertanyaan utama

Pertanyaan	Area yang dicari
Probabilitas nilai ≤ x	area di sebelah kiri x
Probabilitas nilai > x	area di sebelah kanan x
Probabilitas a < nilai < b	area antara a dan b

4.2 Langkah umum menghitung peluang

Identifikasi mean dan simpangan baku.

Tentukan batas nilai asli.

Ubah setiap batas menjadi skor baku z.

Tentukan area yang dibutuhkan. Kiri, kanan, atau antara dua batas.

Gunakan tabel Normal standar atau fungsi perangkat lunak.

Interpretasikan probabilitas dalam konteks asli.

4.3 Contoh terarah — peluang di bawah suatu nilai

Durasi aktivitas dimodelkan Normal dengan mean 20 hari dan simpangan baku 4 hari. Berapa peluang durasi tidak lebih dari 24 hari?

z = (24 − 20) / 4 = 1

Dari distribusi Normal standar, area di kiri z = 1 sekitar 0,8413.

Interpretasi: berdasarkan model Normal tersebut, peluang durasi tidak lebih dari 24 hari sekitar 84,13%.

4.4 Peluang di atas suatu nilai

Karena luas total = 1:

Probabilitas(nilai > x) = 1 − Probabilitas(nilai ≤ x)

Jika area di kiri z = 1 adalah 0,8413:

Probabilitas(z > 1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

4.5 Peluang di antara dua nilai

Probabilitas di antara dua batas diperoleh dari selisih area kumulatif.

Probabilitas(a < nilai < b) = area kiri b − area kiri a

Untuk distribusi Normal standar, area kiri z = 1 adalah 0,8413 dan area kiri z = −1 adalah 0,1587.

0,8413 − 0,1587 = 0,6826 ≈ 68,26%

4.6 Probabilitas titik tunggal pada variabel kontinu

Karena distribusi kontinu menggunakan area:

Probabilitas(nilai = x) = 0 secara teoritis

Karena itu untuk distribusi kontinu, probabilitas ≤ dan < pada satu batas memiliki nilai yang sama secara teoritis.

4.7 Kalkulator peluang distribusi Normal

Mean Standard deviation Mode peluang Batas pertama Batas kedua

Kalkulator menggunakan pendekatan numerik fungsi distribusi Normal standar untuk latihan. Pembulatan dapat sedikit berbeda dari tabel atau perangkat lunak lain.

Latihan Tujuan Pembelajaran 4

Sebuah variabel Normal mempunyai mean 100 dan simpangan baku 10. Berapa peluang nilai berada di bawah 110?

Jawaban: z = 1; peluang di kiri z = 1 sekitar 0,8413 atau 84,13%.

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

TUJUAN PEMBELAJARAN 5

Menerapkan distribusi Normal pada data proyek secara manual dan dengan IBM SPSS Statistics

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

Rujukan utama: Montgomery & Runger · Sudjana · Santoso

Tujuan terakhir menggabungkan konsep distribusi Normal, skor baku z, peluang, dan interpretasi pada kasus Manajemen Proyek Konstruksi.

5.1 Studi kasus — durasi pengiriman material

Misalkan durasi pengiriman material pada kondisi tertentu dimodelkan Normal dengan mean 6 hari dan simpangan baku 1,2 hari.

5.2 Posisi pengiriman 8 hari

z = (8 − 6) / 1,2 ≈ 1,67

Pengiriman 8 hari berada sekitar 1,67 simpangan baku di atas mean.

5.3 Peluang durasi tidak lebih dari 8 hari

Area di kiri z ≈ 1,67 sekitar 0,9525.

Berdasarkan model Normal, peluang durasi pengiriman tidak lebih dari 8 hari sekitar 95,25%.

5.4 Peluang lebih dari 8 hari

1 − 0,9525 = 0,0475 = 4,75%

Berdasarkan model tersebut, peluang durasi lebih dari 8 hari sekitar 4,75%.

5.5 Memeriksa skor baku z dengan IBM SPSS Statistics

Salah satu jalur yang dapat digunakan:

Pastikan variabel numerik telah didefinisikan dan satuannya konsisten.

Buka Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives.

Masukkan variabel yang akan dianalisis.

Aktifkan opsi untuk menyimpan nilai standar sebagai variabel jika tersedia pada versi yang digunakan.

Periksa variabel skor baku z yang dihasilkan pada Data View.

Bandingkan beberapa hasil dengan perhitungan manual.

5.6 Eksplorasi distribusi sebelum menggunakan model Normal

IBM SPSS Statistics dapat membantu mengeksplorasi histogram, diagram kotak, dan ringkasan distribusi. Mahasiswa tetap harus menilai apakah model Normal masuk akal untuk tujuan analisis.

Jangan menyamakan “data terlihat cukup simetris” dengan bukti bahwa data pasti Normal. Pada Pertemuan 6 fokusnya adalah memahami penggunaan model Normal. Evaluasi asumsi yang lebih sistematis akan diperdalam pada Pertemuan 10.

5.7 Contoh membandingkan posisi relatif

Kasus	Nilai	Mean	Standard deviation	Skor baku z
Durasi Aktivitas A	26 hari	20 hari	4 hari	1,50
Biaya Aktivitas B	115 juta	100 juta	10 juta	1,50

Keduanya berada 1,5 simpangan baku di atas mean distribusinya masing-masing. Skor baku z menyamakan posisi relatif, bukan menyatakan bahwa durasi dan biaya adalah besaran yang sama.

5.8 Evidence yang harus dihasilkan

identifikasi variabel acak dan jenisnya;
penjelasan mengapa model Normal digunakan pada kasus yang diberikan;
perhitungan skor baku z manual;
penentuan area kiri, kanan, atau di antara dua batas;
perhitungan peluang;
verifikasi skor baku z menggunakan IBM SPSS Statistics;
interpretasi posisi observasi dan peluang dalam konteks proyek.

5.9 Indikator ketercapaian Pertemuan 6

Sesuai Rencana Pembelajaran Semester: skor baku z dan peluang dihitung benar serta posisi observasi dapat dijelaskan.

Latihan integrasi Tujuan Pembelajaran 5

Produktivitas dimodelkan Normal dengan mean 12 m²/hari dan simpangan baku 2 m²/hari. Tentukan skor baku z untuk 15 m²/hari dan peluang produktivitas tidak lebih dari 15 m²/hari.

Jawaban: z = 1,5. Area di kiri z = 1,5 sekitar 0,9332. Jadi peluang produktivitas tidak lebih dari 15 m²/hari sekitar 93,32% berdasarkan model Normal.

↑ Kembali ke Tujuan Belajar

Rangkuman Pertemuan 6

Tujuan Pembelajaran 1

Dasar: variabel acak → distribusi probabilitas.

Tujuan Pembelajaran 2

Model Normal: mean menentukan pusat; simpangan baku menentukan penyebaran.

Tujuan Pembelajaran 3

Posisi: skor baku z menyatakan jarak nilai dari mean dalam satuan simpangan baku.

Tujuan Pembelajaran 4–5

Peluang dan aplikasi: skor baku z → area → probabilitas → interpretasi proyek.

Kalimat kunci Pertemuan 6: skor baku z menjelaskan posisi, sedangkan area di bawah kurva Normal menjelaskan peluang.

Beban kegiatan Pertemuan 6

Tatap muka / terbimbing	100 menit
Penugasan terstruktur	120 menit
Belajar mandiri	120 menit
Total	340 menit
Penilaian	Tugas 5%

Tugas belajar Pertemuan 6

Gunakan satu kasus numerik Manajemen Proyek Konstruksi yang diberikan dosen.

identifikasi variabel acak dan satuannya;
gunakan mean dan simpangan baku yang disediakan/dihitung sesuai instruksi kasus;
hitung skor baku z untuk sedikitnya tiga observasi;
hitung satu peluang di bawah batas, satu peluang di atas batas, dan satu peluang antara dua batas;
verifikasi skor baku z menggunakan IBM SPSS Statistics;
jelaskan posisi observasi dan probabilitas dalam konteks proyek.

Bobot tugas: 5%. Fokus penilaian mengikuti Rencana Pembelajaran Semester: ketepatan skor baku z/peluang dan kemampuan menjelaskan posisi observasi.

Kriteria Penilaian Tugas Pertemuan 6

Kriteria berikut mengikuti rubrik analitik umum Rencana Pembelajaran Semester. Tidak ada bobot internal tambahan yang ditetapkan pada halaman materi; penilaian mengikuti instrumen dosen pada pelaksanaan tugas.

Kriteria	Fokus evidence pada Pertemuan 6
Pemahaman masalah dan data	variabel acak dan penggunaan model Normal dikenali dengan tepat
Pemilihan metode statistik	standardisasi dan area probabilitas dipilih sesuai pertanyaan
Perhitungan/analisis	skor baku z dan probabilitas dihitung dengan benar
Interpretasi	posisi observasi dan peluang dijelaskan dengan tepat
Kesimpulan berbasis bukti	penggunaan model Normal dibatasi sesuai asumsi/konteks
Komunikasi data	mean, simpangan baku, skor baku z, area, dan probabilitas dilaporkan jelas

Prinsip: ketepatan prosedur harus disertai kemampuan menjelaskan alasan pemilihan metode, interpretasi, dan kaitannya dengan masalah/data.

Checklist penguasaan Pertemuan 6

0 dari 5 tujuan tercapai 0%

Tujuan Pembelajaran 1 — Saya dapat menjelaskan variabel acak dan distribusi probabilitas. Tujuan Pembelajaran 2 — Saya dapat menjelaskan karakteristik distribusi Normal. Tujuan Pembelajaran 3 — Saya dapat menghitung dan menginterpretasikan skor baku z. Tujuan Pembelajaran 4 — Saya dapat menghitung peluang sebagai luas di bawah kurva Normal. Tujuan Pembelajaran 5 — Saya dapat menerapkan distribusi Normal pada kasus proyek secara manual dan dengan IBM SPSS Statistics.

Checklist ini tersimpan hanya pada browser/perangkat dan bukan progres atau nilai resmi pada sistem pembelajaran.

Catatan Penyelarasan

Materi dan penilaian pada halaman ini menggunakan struktur canonical semester yang telah diharmonisasi. Acuan kurikulum final adalah Rencana Pembelajaran Semester yang berlaku; nomor versi tidak ditampilkan pada halaman materi agar tidak menjadi usang ketika dokumen diperbarui.

Daftar Pustaka Pertemuan 6

Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018). Applied Statistics and Probability for Engineers (7th ed.). Wiley.
Sudjana. (2005). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito.
Santoso, S. (2018). Menguasai Statistik dengan SPSS 25. Jakarta: Elex Media Komputindo.

Daftar pustaka pada halaman ini identik dengan kode referensi pada Rencana Pembelajaran Semester terbaru.

↑ Kembali ke bagian utama

Jembatan ke Pertemuan 7

Pertemuan 6 menggunakan distribusi probabilitas untuk menjelaskan posisi dan peluang. Pertemuan 7 melanjutkan ke sampling, sampling error, estimasi titik, confidence interval, dan pemilihan teknik sampling.

Distribusi → Sampel → Estimasi → Confidence Interval

↑ Lihat kembali Tujuan Belajar Pertemuan 6